Daerah Arsiran & Garis Selidik — Laboratorium Konsep Matematika SMA

💡 Pertanyaan Pemantik (Inquiry Hook)

Misteri Pojok Feasible Region: Mengapa Optimum Selalu di Titik Sudut?

Di dalam Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) pertidaksamaan linear, terdapat jutaan titik kombinasi $(x, y)$ yang sah dan memenuhi syarat. Lantas, mengapa para ahli optimasi dan perumus soal ujian nasional begitu yakin bahwa keuntungan maksimal atau biaya minimum pasti berada di salah satu titik sudut (pojok terluar), bukan di titik tengah daerah arsiran?

Fungsi Objektif:

✨ Menyentuh Titik MINIMUM di V₁ (0, 2) dengan Z = 10

k = 10

Geser Nilai Konstanta Garis Selidik (k = 10):

Rentang Uji: 8 s.d. 23

⬅️ Nilai Lebih Kecil (Arah Minimum) Nilai Lebih Besar (Arah Maksimum) ➡️

Tabel Uji Titik Pojok (The Corner Point Method):

Titik Sudut	Koordinat (x, y)	Perhitungan Objektif (Z = 2x + 5y)	Nilai Z	Status Optimum
V₁	(0, 2)	2(0) + 5(2) = 0 + 10	10	📉 MINIMUM
V₂	(0, 4)	2(0) + 5(4) = 0 + 20	20	🏆 MAKSIMUM
V₃	(3, 1)	2(3) + 5(1) = 6 + 5	11	Interior

🧭 3 Tahap Mengapa Titik Optimum Selalu di Sudut

1
Garis Selidik adalah Keluarga Garis Sejajar: Persamaan Z = ax + by = k memiliki kemiringan tetap m = -a/b. Saat nilai $k$ diubah, garis tidak berputar melainkan bergeser sejajar menyapu bidang Cartesius.
2
Titik Tengah Tidak Pernah Menjadi Ekstremum: Jika sebuah garis selidik sedang memotong bagian tengah (interior) DHP, kita selalu bisa menggesernya lebih jauh ke atas/kanan (untuk memperbesar $k$) atau ke bawah/kiri (untuk memperkecil $k$) tanpa kehilangan kontak dengan daerah layak.
3
Teorema Titik Sudut (Corner Point Theorem): Kontak pertama garis selidik saat memasuki daerah layak adalah titik minimum, dan kontak terakhir sesaat sebelum meninggalkan seluruh daerah layak adalah titik maksimum. Kedua momen kritis ini secara geometris pasti terjadi pada salah satu titik sudut poligon.

Jembatan Aljabar Formal (The Algebraic Bridge)

Formulasi Program Linear & Nilai Ekstrem

Sistem Kendala Daerah II (Soal Resmi Wajib #5):

\begin{cases} x + y \le 4 \\ x + 3y \ge 6 \\ x \ge 0, \quad y \ge 0 \end{cases}

Fungsi Objektif Terpilih:

Z = 2x + 5y \implies Z_{\text{min}} = 10 \quad \text{dan} \quad Z_{\text{max}} = 20

🎯 Uji Model Mental Mandiri

Kuis Konsep: Mengapa Kita Cukup Menguji Titik Sudut Tanpa Menghitung Titik Lain?

Jika sebuah daerah layak dibatasi oleh 4 garis pembatas dan membentuk segi empat tertutup di kuadran I, mengapa kita tidak perlu menguji titik $(x, y)$ di tengah-tengah poligon saat mencari keuntungan maksimum?

🎯 Uji Pemahaman di Soal Resmi Pusmendik

Model daerah arsiran ini diujikan persis pada Soal Matematika Wajib #5 & #26 & #37.

Buka Soal #5 →

Ingin menguasai model matematika program linear cerita?

Bedah trik menentukan daerah layak dan titik optimum bersama Mas Tutor dalam kelompok kecil 3–4 siswa (90 menit).

💬 Konsultasi Kelas Kecil di WhatsApp

Misteri Pojok Feasible Region: Mengapa Optimum Selalu di Titik Sudut?

🧭 3 Tahap Mengapa Titik Optimum Selalu di Sudut

Formulasi Program Linear & Nilai Ekstrem

Kuis Konsep: Mengapa Kita Cukup Menguji Titik Sudut Tanpa Menghitung Titik Lain?

Uji Konsep Ini Langsung pada Soal Resmi TKA