Invers Pecahan Rasional — Laboratorium Konsep Matematika SMA

💡 Pertanyaan Pemantik (Inquiry Hook)

Bongkar Rumus Cepat Invers Pecahan: Dari Mana Asal Tukar Silang & Lawan Tanda?

Hampir setiap buku bimbingan belajar mengajarkan mantra instan: f(x) = (ax + b)/(cx + d) ⟹ f⁻¹(x) = (-dx + b)/(cx - a). Namun saat panitia TKA Pusmendik membalik susunan suku menjadi (4 - 3x)/(2x + 5), ribuan siswa langsung terjebak karena salah mengenali mana $a$ dan mana $b$! Bagaimana isolasi aljabar 4 langkah membebaskanmu dari ketergantungan hafalan rumus cepat yang rapuh?

Tahap Pembuktian: 1/4

Fungsi Asal f(x)

f(x) = \frac{2x + 3}{4x - 5}

Koefisien: a=2, b=3, c=4, d=-5

Fungsi Invers Hasil f⁻¹(x)

f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{4x - 2}

Posisi a dan d bertukar tempat dengan lawan tanda (-d dan -a)

Langkah 1: Definisikan y = f(x)

y = \frac{2x + 3}{4x - 5}

Gantikan simbol f(x) dengan variabel luaran y untuk mempermudah manipulasi aljabar isolasi.

🎛️ Modifikasi Parameter Koefisien Mandiri

a (Koef x atas) 2

b (Konstanta atas) 3

c (Koef x bawah) 4

d (Konstanta bawah) -5

🧭 Mengapa Rumus Cepat Bekerja (Dekonstruksi Logika)

1
Alasan Munculnya Tanda Minus pada $d$: Ketika kedua ruas dikalikan penyebut, suku konstanta bawah menjadi $dy$ di ruas kiri. Saat dipindahkan ke ruas kanan untuk diisolasi, ia berubah menjadi $-dy$. Itulah sebabnya konstanta bawah $d$ naik ke atas menjadi $-d$!
2
Alasan Munculnya Tanda Minus pada $a$: Koefisien atas $ax$ berada di ruas kanan. Saat dipindahkan ke ruas kiri untuk dikelompokkan bersama $cxy$, ia berubah menjadi $-ax$. Saat difaktorkan menjadi $x(cy - a)$, suku $-a$ turun ke penyebut. Itulah sebabnya koefisien atas $a$ turun ke bawah menjadi $-a$!
3
Suku $b$ dan $c$ Tidak Pernah Berpindah Posisi: Suku $b$ tetap berada di ruas kanan pembilang, dan koefisien $c$ tetap mengikat $x$ di penyebut. Keduanya tidak pernah berganti tanda!

Jembatan Aljabar Formal (The Algebraic Bridge)

Perbandingan Logika Asal vs Rumus Instan

\begin{aligned} f(x) &= \frac{ax + b}{cx + d} \\[8pt] &\Downarrow \quad \text{(Hasil Isolasi Aljabar Faktorisasi)} \\[8pt] f^{-1}(x) &= \frac{-dx + b}{cx - a} \end{aligned}

Rumus cepat bukanlah mukjizat atau mantra hafalan, melainkan ringkasan dari alur pengelompokan suku $x(cy - a) = -dy + b$.

🎯 Uji Model Mental Mandiri

Tantangan Nalar: Jebakan Urutan Variabel Soal TKA

Diberikan fungsi pecahan $f(x) = \frac{5 - 3x}{2x + 7}$ . Manakah rumus invers $f^{-1}(x)$ yang benar?

🎯 Uji Pemahaman di Soal Resmi Pusmendik

Keterampilan isolasi invers pecahan ini diujikan pada sistem aljabar Soal Matematika Wajib #44.

Buka Soal #44 →

Ingin menguasai variasi soal invers pecahan bertingkat?

Bedah trik isolasi variabel aljabar bersama Mas Tutor dalam kelompok kecil 3–4 siswa (90 menit).

💬 Konsultasi Kelas Kecil di WhatsApp

Bongkar Rumus Cepat Invers Pecahan: Dari Mana Asal Tukar Silang & Lawan Tanda?

🧭 Mengapa Rumus Cepat Bekerja (Dekonstruksi Logika)

Perbandingan Logika Asal vs Rumus Instan

Tantangan Nalar: Jebakan Urutan Variabel Soal TKA

Uji Konsep Ini Langsung pada Soal Resmi TKA